মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা, সহমৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতার

১. ৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখ।

সমাধান: ৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো –

৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭

২. সহমৌলিক জোড়া নির্ণয় কর:

(ক) ২৭, ৫৪

সমাধান: এখানে,

২৭ = ১ × ৩ × ৩ × ৩

৫৪ = ১ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

২৭ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৯, ২৭

এবং ৫৪ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮, ২৭, ৫৪

২৭ ও ৫৪ এর মধ্যে ১ ছাড়াও অন্য সাধারন গুণনীয়ক (৩, ৯, ২৭) আছে।

সুতরাং ২৭ ও ৫৪ পরস্পর সহমৌলিক নয়।

(খ) ৬৩, ৯১

সমাধান: এখানে,

৬৩ = ১ × ৩ × ৩ × ৭

৯১ = ১ × ৭ × ১৩

৬৩ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৭, ৯, ২১, ৬৩

৯১ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৭, ১৩, ৯১

৬৩ ও ৯১ এর মধ্যে ১ ছাড়াও অন্য সাধারন গুণনীয়ক (৭) আছে।

সুতরাং, ৬৩ ও ৯১ সংখ্যাদ্বয় পরস্পর সহমৌলিক নয়।

(গ) ১৮৯, ২১০

সমাধান: এখানে,

১৮৯ = ১ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭

২১০ = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭

১৮৯ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৭, ৯, ২১, ২৭, ৬৩

২১০ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ১০, ১৪, ১৫, ২১, ৩০, ৩৫, ৪২, ৭০, ১০৫, ২১০

১৮৯ ও ২১০ এর মধ্যে ১ ছাড়াও অন্য সাধারণ গুণনীয়ক (৩,৭ ও ২১) আছে।

সুতরাং ১৮৯ ও ২১০ পরস্পর সহমৌলিক নয়।

(ঘ) ৫২, ৯৭

সমাধান: এখানে,

৫২ = ১ × ২ × ২ × ১৩

৯৭ = ১ × ৯৭

৫২ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৪, ১৩, ২৬, ৫২

৯৭ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৯৭

৫২ ও ৯৭ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোন সাধারণ গুণনীয়ক নেই।

সুতরাং, ৫২ ও ৯৭ পরস্পর সহমৌলিক।

৩. নিচের কোন সংখ্যাগুলো নির্দেশিত সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।

(ক) ৩ দিয়ে: ৫৪৫, ৬৭৭৪, ৮৫৩৫

সমাধান: কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অতএব,

৫৪৫ এর ক্ষেত্রে, ৫ + ৪ + ৫ = ১৪ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ৫৪৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

৬৭৭৪ এর ক্ষেত্রে, ৬ + ৭ + ৭ + ৪ = ২৪ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ ৬৭৭৪ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

৮৫৩৫ এর ক্ষেত্রে, ৮ + ৫ + ৩ + ৫=২১ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ ৮৫৩৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

সুতরাং, ৬৭৭৪ ও ৮৫৩৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

(খ) ৪ দিয়ে: ৮৫৪২, ২১৮৪, ৫২৭৪

সমাধান: কোন সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা যদি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে উক্ত সংখ্যাটিও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

৮৫৪২ এর ক্ষেত্রে একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪২ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ৮৫৪২ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

২১৮৪ এর ক্ষেত্রে একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ ২১৮৪ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

৫২৭৪ এর ক্ষেত্রে একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৭৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ৫২৭৪ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, ২১৮৪ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

(গ) ৬ দিয়ে: ২১৮৪, ১০৭৪, ৭৮৩২

সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে ৬ দ্বারাও বিভাজ্য হবে।

২১৮৪ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ যা একটি জোড় সংখ্যা এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ২১৮৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।

আবার, ২ + ১ + ৮ + ৪ = ১৫ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ২১৮৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং, ২১৮৪, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

আবার,

১০৭৪ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ যা একটি জোড় সংখ্যা এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ১০৭৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।

১ + ০ + ৭ + ৪ = ১২ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ১০৭৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং ১০৭৪, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

আবার,

৭৮৩২ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ২ যা একটি জোড় সংখ্যা এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ৭৮৩২, ২ দ্বারা বিভাজ্য।

৭ + ৮ + ৩ + ২ = ২০ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয় অর্থাৎ ৭৮৩২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সুতরাং ৭৮৩২, ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো ২১৮৪, ১০৭৪

(ঘ) ৯ দিয়ে: ৫০৭৫, ১৭৩৭, ২১৯৩

সমাধান: প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

৫০৭৫ এর ক্ষেত্রে, ৫ + ০ + ৭ + ৫ = ১৭, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

১৭৩৭ এর ক্ষেত্রে, ১ + ৭ + ৩ + ৭ = ১৮ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

২১৯৩ এর ক্ষেত্রে, ২ + ১ + ৯ + ৩ = ১৫ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, ১৭৩৭ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

৪. নিচের ⬜ চিহ্নিত স্থানে কোন কোন অঙ্ক বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

(ক) ৫ ⬜ ৪৭২৩

সমাধান: ৫ ⬜ ৪৭২৩ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল ৫ + ৪ + ৭ + ২ + ৩ = ২১ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

২১ এর পর ৯ দ্বারা বিভাজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭

এখন, ২৭ – ২১ = ৬

অতএব, ⬜ এর স্থানে  ৬ অঙ্কটি  বসালে  সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

(খ) ৮১২ ⬜ ৭৪

সমাধান: ৮১২ ⬜ ৭৪ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল ৮ + ১ + ২ + ৭ + ৪ = ২২ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়। ২২ এর পর ৯ দ্বারা বিভাজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭

এখন, ২৭ – ২২ = ৫

অতএব, ⬜ এর স্থানে  ৫ অঙ্কটি  বসালে  সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

(গ) ⬜ ৪১৫৭৮

সমাধান: ⬜ ৪১৫৭৮ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল ৪ + ১ + ৫ + ৭ + ৮ = ২৫ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

২৫ এর পর ৯ দ্বারা বিভাজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭

এখন, ২৭ – ২৫ = ২

অতএব, ⬜ এর স্থানে  ২ অঙ্কটি বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

(ঘ) ৫৭৪২ ⬜

সমাধান: ৫৭৪২ ⬜ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল ৫ + ৭ + ৪ + ২ = ১৮ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য

অতএব, ⬜ এর স্থানে  ০ অঙ্কটি  বসালে  সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

আবার, ১৮ এর পর ৯ দ্বারা বিভাজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭

এখন, ২৭ – ১৮ = ৯

অতএব, ⬜ এর স্থানে  ৯ অঙ্কটি  বসালে  সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

সুতরাং, ⬜ এর স্থানে ০ ও ৯ অঙ্ক  বসালে  সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

৫. পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় কর যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধান: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০

১০০০০ সংখ্যাটির অঙ্ক গুলোর যোগফল = ১ + ০ + ০ + ০ + ০ = ১ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

১ এর পর ৩ দ্বারা বিভাজ্য পরবর্তী সংখ্যা ৩।

এখন, ৩ – ১ = ২

অতএব, ৩ দ্বারা বিভাজ্য পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ১০০০০ + ২ = ১০০০২

৬. সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় কর যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধান: সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯৯

৯৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটির অঙ্ক গুলোর যোগফল = ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ = ৬৩ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু যেহেতু সংখ্যাটির একক স্থানে ০ বা জোড় সংখ্যা নেই সেহেতু সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

অতএব, সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

এখন, ৯৯৯৯৯৯ – ৩ = ৯৯৯৯৯৯৬; ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৬ = ৬০

যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য এবং একক স্থানের অঙ্ক ৬, ২ দ্বারা বিভাজ্য।

অতএব, ৯৯৯৯৯৯৬ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯৯৬

৭. ৩, ০, ৫, ২, ৭ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় কর।

সমাধান: ৩, ০, ৫, ২, ৭ দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৩২০ যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা = ২০ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য বা সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

আবার, ৭৫৩২০ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ০, অর্থাৎ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং, গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা বা ৭৫৩২০ সংখ্যাটি ৪ ও ৫ দ্বারা বিভাজ্য।